第一章 矩阵知识的复习和补充

1 主要记号和定义

2 Schur分解和奇异值分解

2.1 Schur分解

2.2 奇异值分解

3 向量范数和矩阵范数

3.1 向量范数

3.2 矩阵范数

3.3 谱半径和矩阵序列的收敛性

4 正交投影和子空间之间的距离

4.1 正交投影

4.2 子空间之间的距离

5 非负矩阵

5.1 基本概念和性质

5.2 PerronFrobenius定理

5.3 非负矩阵的谱

5.4 Birkhoff定理

6 有关矩阵特征值的几个重要定理

6.1 一般方阵的Bauer-Fike定理

6.2 正规矩阵的Hoffman-Wielandt定理

6.3 Hermite矩阵的极小极大定理

习题

第二章 矩阵计算概论

1 矩阵计算的基本问题和来源

1.1 基本问题

1.2 膜的振动

1.3 弹性系统的振动

1.4 多元线性回归分析

2 病态问题和数值稳定性

2.1 矩阵计算问题的病态和良态

2.2 算法的数值稳定性

3 矩阵计算的基本工具

3.1 Householder变换

3.2 Givens变换

3.3 Gauss变换

习题

第三章 线性方程组的直接解法

1 线性方程组的条件数

2 基本解法的回顾

2.1 Gauss消去法

2.2 Cholesky分解法

3 对称不定方程组的解法

4 Vandermonde方程组的解法

5 Toeplitz方程组的解法

5.1 YuleWalker方程组

5.2 一般右端项的Toeplitz方程组

5.3 Toeplitz矩阵的逆

6 条件数的估计和迭代改进

6.1 条件数的估计

6.2 迭代改进

习题

第四章 线性方程组的迭代解法

1 迭代法概述

2 基本迭代法

3 正定矩阵和某些迭代法的收敛性

4 H矩阵和某些迭代法的收敛性

5 多项式加速

习题

第五章 共轭梯度法

1 最速下降法

2 二次泛函的几何性质

3 共轭梯度法及其基本性质

4 实用共轭梯度法及其收敛性

4.1 实用共轭梯度法

4.2 收效性分析

5 预优共轭梯度法

6 不完全分解预优技巧

6.1 松弛不完全LU分解

6.2 松弛不完全Cholesky 分解

6.3 分块不完全Cholesky 分解

7 求解非正定线性方程组的共轭梯度法

7.1 正规化方法

7.2 广义共轭剩余法题

第六章 最小二乘问题的数值解法

1 最小二乘解的数学性质

1.1 最小二乘解的特征

1.2 最小二乘解的一般表示

1.3 最小二乘解的扰动分析

2 求解满秩LS问题的数值方法

2.1 正规化方法

2.2正交化方法

3 求解亏秩LS问题的数值方法

3.1 列主元QR分解法

3.2 奇异值分解法

3.3 数值秩的定义和确定方法

4 求解L8问题的迭代法

4.1 基于正规化方程组的古典迭代法

⒋2 基于等价方程组的SOR和SSOR迭代法

5 完全最小二乘问题

习题

第七章 求解特征值问题的QR方法

1 特征值和不变子空间的条件数

1.1 特征值的条件数

1.2 不变子空间的条件数

2 双重步位移的QR算法

2.1Q R算法的基本思想

2.2 实Schur标准形

2.3 上Hessenberg化

2.4 双重步位移的QR迭代

2.5 双重步位移的QR算法

3 特征向量和不变子空间的计算

3.1 特征向量的计算

3.2 不变子空间的计算

4 对称QR方法

5 奇异值分解的计算

6 分而治之法

6.1 分割

6.2 胶合

习题

第八章 求解实对称特征值问题的同伦方法

1 同伦算法概述

2 同伦的构造和性质

3 同伦路径的数值追踪

3.1 预估

3.3 校正

3.3 核查

3.4 同伦算法

习题

第九章 Lanczos方法

1 Lanczos迭代及其基本性质

2 Kanie-Paige-Saad理论

3 Lanczos算法

4 求解对称线性方程组的Lanczos方法

5 求解非对称线性方程组的广义极小剩余法

习题

第十章 求解Jacobi矩阵特征值反问题的数值方法

1 基本问题和定性理论

2 数值方法

2.1 Lanczos方法

2.2 正交约化法

3 相关问题

3.1 秩1修改问题

3.2 广对称Jacobi矩阵的特征值反问题

3.3 对角矩阵与秩1矩阵之和的特征值

习题

参考文献

索引

写这本书的主要目的，是为计算数学有关专业研究生和高年级大学生提供一本既能反映映阵计算的基础理论、基本方法和最新进展，又具有实用性和启发性的教学参考书，使之通过达本书的学习，能够对矩阵汁算的有关理论和方法有一个比较全面、系统的了解，并为进一步学爿与研究，打下一个较好的基础。

基于这样的目的，本书在注重基础理论的前提下，重点放在介绍矩阵计算这门学科近十年来发展成熟并得到了广泛应用的理论和方法，其中主要包括:不完全分解预优共轭梯度法，广义共轭剩余法，广义极小剩余法，Lanczos方法，求解特征值问

作 者:徐树方著 丛 书 名:北京大学数学丛书

版 次:1

页 数:370

装 帧:平装

开 本:32开

所属分类:图书 > 科学与自然 > 数学

《广义逆矩阵的理论与方法》除了介绍广义逆矩阵的一些基本知识外，主要反映在前述关于广义逆矩阵的理论、计算与应用的诸多方面的新成果。并将《广义逆矩阵的理论与方法》奉献给有志于广义逆矩阵的学习与研究的读者，以期对广义逆矩阵研究的进一步发展有所裨益。《广义逆矩阵的理论与方法》可以作为高等院校数学、计算数学、应用数学等专业高年级学生与研究生的一学期用教材(约60学时)，也可供高校其他专业师生与工程技术人员自学参考之用。

《矩阵理论与方法》介绍在实际工程中有应用价值的矩阵理论与方法，全书共分7章，对线性空间与线性变换、矩阵的相似标准形、矩阵分解、矩阵函数与范数理论、矩阵的微分与积分、矩阵级数及广义逆矩阵作了较为详细的讨论。为了便于读者学习，各章结合内容配备一定数量例题、习题揭示和习题答案。

《矩阵理论与方法》内容丰富、阐述简明、推导严谨、学时适中，适于作为硕士的研究生教材，也适合作为理工科各专业高年级本科生选修教材，同时对有关工程技术人员也是一本较好的参考书。

目录 ​

第1章线性空间与线性变换

1.1线性空间

1.1.1线性空间的概念及实例

1.1.2基、维数与坐标

1.1.3基变换与坐标变换

1.2线性子空间

1.2.1线性子空间的概念及实例

1.2.2子空间的交与和

1.2.3子空间的直和与补子空间

1.3线性变换

1.3.1线性变换的概念及实例

1.3.2线性变换的运算

1.3.3线性变换的矩阵表示

1.3.4线性映射的矩阵表示

1.4与线性变换有关的子空间

1.4.1线性变换的值域与核

1.4.2线性变换的不变子空间

1.5欧氏空间与酉空间

1.5.1欧氏空间的定义与性质

1.5.2度量矩阵及可度量的量

1.5.3标准正交基

1.5.4酉空间介绍

习题1

第2章矩阵的相似标准形

2.1相似矩阵

2.1.1相似矩阵及其性质

2.1.2矩阵与对角矩阵相似的条件

2.1.3相似不变量

2.2λ-矩阵及其标准形

2.2.1λ-矩阵

2.2.2λ-矩阵的标准形

2.3不变因子与初等因子

2.3.1不变因子

2.3.2初等因子

2.4jordan标准形

2.4.1矩阵的jordan标准形

2.4.2jordan标准形的求法

习题2

第3章矩阵分解

3.1矩阵的三角分解

3.1.1gauss消去法的矩阵表述

3.1.2矩阵的三角分解

3.1.3降秩矩阵与分块矩阵的三角分解

3.2矩阵的qr分解

3.2.1矩阵的qr分解

3.2.2用初等旋转矩阵求矩阵的qr分解

3.2.3用初等反射矩阵求矩阵的qr分解

3.3矩阵的满秩分解

3.3.1矩阵满秩分解的存在性

3.3.2用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解

3.3.3关于行满秩或列满秩矩阵的性质

3.4矩阵的奇异值分解

3.4.1schur引理及正规矩阵的分解

3.4.2矩阵的奇异值分解

3.5矩阵的谱分解

3.5.1可对角化方阵的谱分解

3.5.2正规矩阵的谱分解

习题3

第4章矩阵函数与范数理论

4.1矩阵多项式与最小多项式

4.1.1矩阵多项式的概念与运算

4.1.2cayley-hamilton定理

4.1.3最小多项式的性质与求法

4.2矩阵函数

4.2.1预备知识

4.2.2矩阵函数的概念与性质

4.2.3矩阵函数的求法

4.3向量的范数

4.3.1向量范数的概念与性质

4.3.2向量范数的连续性与等价性

4.4矩阵的范数

4.4.1矩阵范数的概念与性质

4.4.2f-范数的性质

4.4.3向量范数与方阵范数的关系

习题4

第5章矩阵分析

5.1向量序列的极限

5.1.1向量序列收敛的概念及条件

5.1.2一般向量空间中柯西序列与向量序列的收敛关系

5.2矩阵序列的极限

5.2.1矩阵序列收敛的概念及条件

5.2.2收敛矩阵序列的运算性质

5.2.3方阵幂收敛概念及定理

5.3函数矩阵

5.3.1函数矩阵的定义与运算

5.3.2函数矩阵的极限与连续

5.4函数矩阵的微分

5.4.1函数矩阵的导数

5.4.2纯量函数对矩阵变量的导数

5.4.3函数矩阵对矩阵变量的导数

5.5矩阵的积分

习题5

第6章矩阵级数

6.1矩阵级数的概念和性质

6.2矩阵幂级数

6.3矩阵函数展开成矩阵幂级数

6.4矩阵函数的些应用

6.4.1一阶线性常系数齐次微分方程组的解

6.4.2一阶线性常系数非齐次微分方程组的解

习题6

第7章广义逆矩阵

7.1广义逆矩阵〓

7.1.1广义逆矩阵的引入

7.1.2广义逆矩阵〓的定义及存在性

7.1.3广义逆矩阵〓的性质与计算

7.1.4相容线性方程组的解与广义逆矩阵〓

7.2广义逆矩阵〓

7.2.1广义逆矩阵〓的定义及计算

7.2.2相容方程组的极小范数解与广义逆矩阵〓

7.3广义逆矩阵〓

7.3.1广义逆矩阵〓的定义与计算

7.3.2不相容方程组的最小二乘解与广义逆矩阵〓

7.4广义逆矩阵〓

7.4.1广义逆矩阵〓的定义与性质

7.4.2广义逆矩阵〓的些计算方法

7.4.3不相容方程组的极小最小二乘解与广义逆矩阵〓

习题7

习题提示

习题答案

参考文献

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