正问题：给定机械的输入力合阻力的变化规律，求解机器的实际运动规律；

反问题：已知机构的运动和阻力，求解应施加于原动构件上的平衡力，以及各运动副的反力。

为简化问题，常把机械系统当作具有理想、为稳定约束的刚体系统处理。对单自由度的机械系统，用等效力和等效质量的概念 ，可以把刚体系统的动力学问题转化为单个刚体的动力学问题；对多自由度机械系统动力学问题一般用拉格朗日方程求解。

机械系统动力学方程常常是多参量非线性微分方程，只在特殊条件下可直接求解，一般情况下需要用数值方法迭代求解。许多机械动力学问题可借助电子计算机分析。

机械运动过程中，各构件之间相互作用力的大小和变化规律是设计运动副的结构、分析支承和构件的承载能力 ，以及选择合理润滑方法的依据。在求出机械真实运动规律后可算出各构件的惯性力，再依据达朗贝尔原理，用静力学方法求出构件间的相互作用力。

平衡目的是消除或减少作用在机械基础上周期变化的振颤力和振颤力矩。对刚性转子的平衡已有较成熟的技术和方法：对工作转速接近或超过转子自身固有频率的挠性转子平衡问题，不论是理论与方法都需要进一步研究。

平面或空间机构中包含有往复运动和平面或空间一般运动的构件 ，其质心沿一封闭曲线运动。根据机构的不同结构，可以应用附加配重或附加构件等方法，全部或部分消除其振颤力。但振颤力矩的全部平衡较难实现。

机械运转过程中能量的平衡和分配关系包括：机械效率的计算和分析，调速器的理论和设计，飞轮的应用和设计等。

机械振动的分析是机械动力学的基本内容之一， 现已发展成为内容丰富、自成体系的一门学科。

机构分析与机构综合一般是对机构的结构和运动而言，但随着机械运转速度提高，机械动力学已成为分析与综合高速机构时不可缺少的内容。

近代机械发展的一个显著特点是 ，自动调节与控制装置日益成为机械不可缺少的组成部分。机械动力学研究对象已扩展到包括不同特性的动力机和控制调节装置在内的整个机械系统，控制理论已经渗入到机械动力学的研究领域。

在高速与精密机械设计中，为保证机械的精确度和稳定性，构件的弹性效应已成为设计里不容忽视的因素。一门把机构学与机械振动和弹性理论结合起来的新的学科——运动弹性体动力学正在形成，并在高速连杆机构与凸轮机构的研究中取得了一些成果。

在一些机械的设计中，已经提出变质量的机械动力学问题。各种模拟理论与方法以及运动和动力参数的测试方法，已经成为机械动力学研究的重要手段。

研究目的：分析和综合两个方面，分析：研究现有的机械；

综合：设计新机械使之达到给定的运动学,动力学要求。

机械动力学是研究机械在力的作用下的运动和机械在运动过程中产生的力，并从力和运动相互作用的角度进行机械的设计与改进的科学。

按其将自然界中不同能量转变为机械能的方式可以分为风力机械、水力机械和热力发动机3大类。

风力机械 有风帆、风车（风力机）、风磨等。20世纪出现直接应用风力的发电装置，但受到自然风区分布的限制。一般认为风速应大于 4米/秒才有利用价值。据估计，地球上蕴有风能约达10吉瓦，已经利用的不及百分之一，故风能大有开发的前景。

机械动力学水力机械

有水车、水磨、水轮机等。20世纪以来，利用水轮机发电的水电站日益增多，因为水电站具有运行费用低、无污染、取用不竭等优点。但是兴建水库、水坝，初始投资较大、建设时间较长，而且对生态平衡、地质力态平衡也有影响。中国水能蕴藏量约为 680兆瓦，居世界之首，很有开发和利用的余地。

机械动力学热力发动机

热力发动机包括蒸汽机、汽轮机、内燃机(汽油机、柴油机、煤气机等)、热气机、燃气轮机、喷气式发动机等。在工业、农业、交通、采矿、兵工等部门，内燃机的应用最为广泛。船舶、机车、汽车、拖拉机、物料搬运机械、土方机械、坦克、排灌机械、摩托车、电影放映机、航空模型、小型发电装置无不以内燃机为动力。

①汽油机：以汽油为燃料，采用电点火，转速一般在3000～6000转/分，甚至高达每分万转。功率由几百瓦至几百千瓦。在农林方面广泛用作采茶机、割草机、机锄、喷药机、割灌机、机锯等的动力；在交通方面用作摩托车、汽车、小艇的动力。此外，用于通信和电影放映机的小型发电机组，采矿用凿岩机、建筑用打夯机等，无不以小型汽油机作动力。早期的飞机曾以大型汽油机为动力，后已基本上为涡轮机，特别是喷气式发动机所取代。汽油机的排放物对人类环境的污染毒害十分严重。

②柴油机：以柴油为燃料，利用压缩热自燃，转速一般在百余转至五、六千转每分，功率由几千瓦至数万千瓦。广泛用作汽车、拖拉机、坦克、船舶、军舰、机车、发电机组、物料搬运机械、土方机械等的动力。60年代以来，由于世界性的石油危机，以及柴油机具有较高的热效率，柴油机的应用范围也日益扩大。一些过去采用汽油机的领域，如小轿车、轻型卡车等采用柴油机作动力的日渐增多。

③煤气机：以煤气、天然气和其他可燃气体为燃料，有采用电点火的，也有采用喷入少量柴油压燃引火的。由于气体燃料来源的限制，加上煤气机本身体积大、携带困难等原因，它的应用远不及汽油机、柴油机广泛。煤气机大多应用于固定式动力装置，但也有将气体燃料装囊，或液化装瓶以用于运输车辆的，但因使用不便，未能推广。

④蒸汽机：把蒸汽中的热能转化为机械能的热力装置。

现代机械发展的一个显著特点是，自动调节和控制装置日益成为机械不可缺少的组成部分。机械动力学的研究对象已扩展到包括不同特性的动力机和控制调节装置在内的整个机械系统，控制理论已渗入到机械动力学的研究领域。 在高速、精密机械设计中，为了保证机械的精确度和稳定性，构件的弹性效应已成为设计中不容忽视的因素。一门把机构学、机械振动和弹性理论结合起来的新的学科——运动弹性体动力学正在形成，并在高速连杆机构和凸轮机构的研究中取得了一些成果。 在某些机械的设计中，已提出变质量的机械动力学问题。各种模拟理论和方法以及运动和动力参数的测试方法，日益成为机械动力学研究的重要手段。

1.分子机械动力学的研究：作为纳米科技的一个分支，分子机械和分子器件的研究工作受到普遍关注。如何针对纳机电系统(NEMS)器件建立科学适用的力学模型，成为解决纳米尺度动力学问题的瓶颈。分子机械是极其重要的一类NEMS器件．分为天然的与人工的两类。人工分子机械是通过对原子的人为操纵，合成、制造出具有能量转化机制或运动传递机制的纳米级的生物机械装置。由于分子机械具有高效节能、环保无噪、原料易得、承载能力大、速度高等特点，加之具有纳米尺度，故在国防、航天、航空、医学、电子等领域具有十分重要的应用前景，因而受到各发达国家的高度重视。已经成功研制出多种分子机械，如分子马达、分子齿轮、分子轴承等。但在分子机械实现其工程化与规模化的过程中， 由于理论研究水平的制约，使分子机械的研究工作受到了进一步得制约。 分子机械动力学研究的关键是建立科学合理的力学模型。分子机械动力学采用的力学模型有两类，第一类是建立在量子力学、分子力学以及波函数理论基础上的离散原子作用模型。在该模型中，依据分子机械的初始构象，将分子机械系统离散为大量相互作用的原子，每个原子拥有质量，所处的位置用几何点表示。通过引入键长伸缩能，键角弯曲能，键的二面角扭转能，以及非键作用能等，形成机械的势能面，使系统总势能最小的构象即为分子机械的稳定构象。采用分子力学和分子动力学等方法，对分子机械的动态构象与运动规律进行计算。从理论上讲，该模型可以获得分子机械每个时刻精确的动力学性能，但计算T作量十分庞大，特别是当原子数目较大时，其计算工作量是无法承受的。第二类模型为连续介质力学模型。该模型将分子机械视为桁架结构，原子为桁架的节点，化学键为连接节点的杆件，然后采用结构力学中的有限元方法进行动力学分析。该模型虽然克服了第一类模型计算量庞大的缺陷，但无法描述各原子中电子的运动状态，故没有考虑分子机械的光、电驱动效应和量子力学特性．所以在此模型上难以对分子机械实施运动控制研究。有学者提出将量子力学中的波函数、结构力学中的能量函数以及机构学中的运动副等理论结合，建立分子机械动力学分析的体铰群模型。在该模型中，将分子机械中的驱动光子、电子、离子等直接作用的原子以及直接构成运动副的原子称为体，联接体的力场称为铰，具有确切构象的体铰组合称为群。将群视为相对运动与形变运动相结合的杆件．用群间相对位置的变化反应分子的机械运动，而群的形变运动反映分子构象的变化，借助坐标凝聚对群进行低维描述。该模型的核心思想来自于一般力学中的子结构理论和模态综合技术。

2.往复机械的动力学分析及减振的研究：机械产生振动的原因，大致分为两种，一种是机械本身工作时力和力矩的不平衡引起的振动，另一种是由于外力或力矩作用于机架上而引起机械的振动。下面只研究机械本身由于力和力矩的不平衡而引起的振动问题。往复机械包含有大质量的活塞、联杆等组成的曲柄-活塞机构，这些大质量构件在高速周期性运动时产生的不平衡力和气缸内的燃气压力或蒸气压力的周期性变化构成了机器本身和基础的振动。这样产生的振动通过机架传给基础。此振动只要采用适当的方法克服不平衡力这一因素，便可减小振动。然而由曲柄轴的转动力矩使机架产生的反力而引起的振动将是最难解决的问题。 通过一系列的动力学分析，将产生新的减小振动的思路，即想法将往复机械工作时产生的惯性力和力矩的不平衡性，尽量在发动机内部加以平衡解决，使其不传给机架。以往解决平衡的办法是在曲柄轴中心线另一侧加上适当配重即可平衡，对多缸发动机虽然也可按同样办法来处理，但比较麻烦，且发动机结构笨大。由曲柄-活塞动力学分析可知，若作用于往复机械的力之总和等于零(静平衡条件)和上述作用力对任意点的力矩之总和等于零(动平衡条件)，则作用于往复机械的力和力矩就完全平衡。从理论分析上是可行的，在实际应用上也是可以实现的，即对于多缸发动机的平衡，只要合理安排曲柄角位置和适当选择曲柄、连杆、活 塞构件的质量，则可完全满足关于转动质量的两个平衡条件，因而可达到减小整机振动的目的。

3.机械系统的碰撞振动与控制的研究：机械系统内部或边界间隙引起的碰撞振动是机械动力学的研究热点之一。该领域研究成果有：

(1)碰撞振动的间断和连续分析，包括稳定性分析、奇异性问题、擦边诱发分叉、非线性模态等研究； (2)碰撞振动控制，特别是不连续系统的控制方法和控制混沌碰撞振动；

(3)碰撞振动分析的数值方法；

(4)碰撞振动实验研究。 在稳态运行环境下，机械系统内部或边界上的间隙通常使系统产生碰撞振动， 即零部件间或零部件与边界间的往复碰撞。这会造成有害的动应力、表面磨损和高频噪声，严重影响产品的质量。在当代高技术的机电系统中，碰撞振动有时会成为影响系统性能的主要因素。

例如：

(1)在由机器人完成的柔顺插入装配中，为避免轴、孔对中误差而引起卡阻，需要同时控制操作器的位置和它与环境间的作用力。这类柔顺操作器的关键部分由弹性元件、应变测量模块及力反馈电路组成，通过控制弹性元件的变形， 产生对负载变化非常敏感的控制力。操作器研制的难点之一是，传动误差扰动经过间隙环节后成为极复杂的运动，对高灵敏度操作器的动力学特性产生影响。

(2)大型航天器中许多大柔性结构(如空间站的天线、太阳能电池帆板)需要在太空轨道装配或自动展开，为此，在关节(或套筒)中留有一定间隙。虽然这些间隙与结构尺寸相比很小，但因关节数目很多而使整个结构呈明显的松动，其振动特性变得非常复杂。另外，这类结构往往还受主动控制， 间隙显著增加了控制的难度。 因此，深入研究间隙引起的碰撞振动，才能在高技术机电系统的设计阶段把握其动力学特性，避免后继阶段的大挫折。由于碰撞振动系统是复杂的非线性动力学系统，对它的研究既有理论难度又有重要工程实际意义，得到普遍关注。

4.流体动力学在流体机械领域中的应用：空气、水、油等易于流动的物质被统称为流体。在力的作用下，流体的流动可引起能量的传递、转换和物质的传送。利用流体进行力的传递、进行功和能的转换的机械，被称为流体机械。流体力学就是一门研究流体流动规律，以及流体与固体相互作用的一门学科，研究的范围涉及到风扇的设计，发动机内气体的流动以及车辆外形的减阻设计，水利机械的工作原理，输油管道的铺设，供水系统的设计，乃至航海、航空和航天等领域内动力系统和外形的设计等。计算流体动力学（CFD），就是建立在经典流体动力学与数值计算方法基础之上的一门新型学科。CFD 应用计算流体力学理论与方法，利用具有超强数值运算能力的计算机，编制计算机运行程序，数值求解满足不同种类流体的流动和传热规律的质量守恒、动量守恒和能量守恒三大守恒规律，及附加的各种模型方程所组成的非线性偏微分方程组，得到确定边界条件下的数值解。CFD 兼有理论性和实践性的双重特点，为现代科学中许多复杂流动与传热问题提供了有效的解决方法。

5.转子动力学理论与机械故障诊断技术：以风力发电机组、水力发电机组等大型能源装备、航天器、航空发动机、汽车等机械系统为研究对象，进行转子动力学、机械故障诊断、振动主动控制等方面的研究。对带有旋转机械中常见的动静件碰摩、部件松动、转轴裂纹等故障的转子系统的非线性动力学行为进行理论与实验研究，发展了转子轴承系统非线性动力学理论。开展了动静件碰摩、转轴裂纹等旋转机械常见故障的诊断与定位，非线性系统在线辨识技术、神经网络、专家系统、小波分析等方法的研究，在国际上较早地和较系统、全面地分析了旋转机械常见故障的动力学机理，所开发的水轮发电机组和汽轮发电机组状态监测和故障诊断系统已安装在大量的机组上，为电力行业的安全生产做出了贡献。

6.航天器动力学及智能结构技术：为了解决对含间隙展开与分离机构的全局(解锁－展开－锁定)动力学预测仿真的难题，引入单边约束和变拓扑结构理论，研究了含间隙展开机构多体动力学建模方法，基于ADAMS软件平台编制了卫星-火箭分离动力学仿真模拟系统和太阳电池阵动力学仿真模拟系统，该项技术已用于星箭解锁分离、战略导弹级间段分离、大型整流罩解锁－抛离、空间站伸展机构展开-锁定等的全局预测仿真模拟。探索研究了智能材料结构机构设计理论与方法，主要解决智能元件和典型智能机构设计与分析问题。设计了一种具有感知和驱动功能的压电主动杆；研究了典型智能材料元件（压电双晶片、SMA差动弹簧驱动器、主动杆等）的机电耦合特性；研制了3种智能材料元件驱动的组合式机构：压电驱动的微动机器人、SMA驱动的柔性手爪和压电双晶片驱动的步进转动机构；进行了采用智能材料实现飞行器的变构型研究。

1.在已知外力作用下求具有确定惯性参量的机械系统的真实运动规律。为了简化问题，常把机械系统看作具有理想、稳定约束的刚体系统处理。对于单自由度的机械系统，用等效力和等效质量的概念可以把刚体系统的动力学问题转化为单个刚体的动力学问题；对多自由度机械系统动力学问题一般用拉格朗日方程求解。机械系统动力学方程常常是多参量非线性微分方程，只在特殊条件下可直接求解，一般情况下需要用数值方法迭代求解。许多机械动力学问题可借助电子计算机分析。计算机根据输入的外力参量、构件的惯性参量和机械系统的结构信息，自动列出相应的微分方程并解出所要求的运动参量。

2.分析机械运动过程中各构件之间的相互作用力。这些力的大小和变化规律是设计运动副的结构、分析支承和构件的承载能力以及选择合理润滑方法的依据。在求出机械真实运动规律后可算出各构件的惯性力，再依据达朗伯原理用静力学方法求出构件间的相互作用力。

3.研究回转构件和机构平衡的理论和方法。平衡的目的是消除或减少作用在机械基础上周期变化的振颤力和振颤力矩。对于刚性转子的平衡已有较成熟的技术和方法：对于工作转速接近或超过转子自身固有频率的挠性转子平衡问题，不论是理论和方法都需要进一步研究。

平面或空间机构中包含有往复运动和平面或空间一般运动的构件。其质心沿一封闭曲线运动。根据机构的不同结构，可以应用附加配重或附加构件等方法全部或部分消除其振颤力。但振颤力矩的全部平衡较难实现。优化技术应用于机构平衡领域已经取得较好的成果。

4.研究机械运转过程中能量的平衡和分配关系。这包括：机械效率的计算和分析；调速器的理论和设计；飞轮的应用和设计等。

5.机械振动的分析研究。这是机械动力学的基本内容之一，已发展成为内容丰富、自成体系的一门学科。

6.机构分析和机构综合。此项内容一般是对机构的结构和运动而言，但随着机械运转速度的提高，机械动力学已成为分析和综合高速机构时不可缺少的内容。

课程代码：X020509

学分/学时：2.0 /54

开课时间：秋

课程名称：机械动力学

开课学院：机械与动力工程学院

任课教师：郭为忠

面向专业：机械学·机械工程各专业

预修课程：机械原理, 理论力学,,材料力学

课程内容简介：

中文：该课程为机械工程研究生选修课，介绍机械动力学的基本知识，包括转子动力学、机构平衡、凸轮机构动力学、运动弹性动力学、机械系统动力学、多刚体动力学等。该课程有助于学生理解、分析并改进现代机器的动态性能。

英文：This course is an elective course for graduate students. It provides an introduction to the basic knowledge of mechanical dynamics. The dynamics of the rotors, the balancing of the mechanisms, the cam dynamics, the kineto-elasto dynamics, the dynamics of mechanical systems, and multi-rigid-body dynamics are included. It helps the students understand, analyze and improve the dynamic performances of modern machines.

教学大纲：

Week 1 绪论

Week 2平面机构的平衡

Week 3单自由度机械系统动力学

Week 4多自由度机械系统动力学

Week 5计算多体动力学简介

Week 6回转体机械动力学

Week 7连杆机构弹性动力学

Week 8凸轮机构弹性动力学

Week 9机械系统弹性动力学

机械动力学史绪论

一、机械动力学的发展历史梗概

二、机械动力学发展的背景与环境

第一篇机械动力学的早期发展（第二次世界大战以前）

第一章理论基础：经典力学理论的创立与发展

机械动力学史第一节

经典力学理论体系的创立

一、经典力学创立的时代背景

二、经典力学创立之前的理论准备

三、经典力学的创立

四、分析力学的建立

五、弹性力学的建立

六、经典力学的局限性

机械动力学史第二节

与机械动力学相关的早期数学理论的发展

一、微积分理论的创立

二、微分方程理论的建立和发展

《机械动力学史》分为两篇。第一篇介绍：经典力学的创立为机械动力学的发展奠定了理论基础，两次工业革命对机械动力学提出了要求，以及机械振动学和机械动力学理论的早期发展。第二篇介绍：第二次世界大战后科技的大发展为机械动力学的进一步发展提供了指导思想、方法和技术手段，机械工业的巨大进步向机械动力学提出了新的要求，机械动力学在纵向形成为包括建模、分析、仿真、动力学设计与控制的综合学科，在横向形成了机构动力学、机械传动动力学、转子动力学、机器人动力学、机床动力学和车辆动力学等多个分支领域。

与传统刚性机械手相比，柔性机械手具有质量轻、体积小、速度高、负载能力强、能耗小、成本低等优点。柔性机械手的动力学特点是系统中的柔性部件在运动过程中经历着大的刚体整体移动和转动，同时又有变形运动，而且这两种运动又是高度耦合的。刚性系统中，只要动参考系选定，质量矩阵等都是不随时间变化的。但是在柔性系统中，包括质量矩阵等量都是随着物体变形而变化，都是时间的函数，这使柔性机械手的动力学问题的复杂性大大增加。

柔性机械手的弹性来自机械手构件和关节的弹性。柔性机械手的数学模型中如果不考虑柔性就会影响所需电机转矩和末端执行器位置的精确性。柔性机械手是一个复杂的动力学系统，其动力学方程具有高度非线性、强耦合、时变等特点，而进行柔性机械手动力学问题的研究，其模型的建立是极其重要的。

离散方法

柔性机械手是连续系统，可看作无数个多自由度，用一系列非线性耦合常微分和偏微分方程描述。它的精确动力学模型很难得到，因此通常将其离散成有限自由度作近似分析模型。为了便于分析计算，通常采用假定模态法(AAM)、有限元法(FEA)、集中质量法将其离散化。

假定模态法通常建立在Lagrange或Newton—Euler原理基础上。它采用空间特征方程和时变的模态幅度组成的有限个模态技术来描述弹性变形，采用模态截断技术，利用系统中各个子结构的模态，综合出系统的整个模态。Martins，Tso和MeteKalyoncu利用Lagrange方程和假定模态法研究了单杆柔性机械手动力学问题；RakhshaandGoldenberg利用Newton—Euler法和假定模态法研究了单杆柔性机械手动力学问题；AkiraAbe和Andr6Fenili利用Lagrange方程和假定模态法建立了两杆刚柔机械手的动力学模型。但是对于多杆构件，构件的模态相互作用所导致的模态共振现象，该方法并没有考虑；对于复杂截面、复杂载荷的多构件柔性机械手动力学分析，该方法也不适用。

有限元法也是建立在Lagrange或Newton—Euler原理基础上。它是把无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合数值解法的结构型问题。其特点是采用弹性单元、刚性结点、载荷向结点移置、刚度及阻尼特性由单元表征。有限元法非常适合复杂形状、边界和载荷情况下的物体作离散和分析，其边界条件和几何物理特性可以直接描述。BianYushu¨叫和MohamedandTokhi采用有限元法研究柔性机械手；MoulinandBayoc利用有限元法研究了柔性机械手逆动力学问题，在频域内求得了关节驱动力，在该驱动力作用下，机械手可以准确地跟踪给定轨迹；Tokhi应用有限元法建立了单杆柔性机械手动力模型，并将结果与实验所得模态所构建的动力学模型进行比较，验证了模型的正确性；RosadoandYuhara和Rosado应用Newton—Euler方程和有限元法，综合考虑了构件和关节的弹性变形，构建了两杆平面机械手动力学模型。该方法所得动力学方程较为复杂，动态响应求解运算量也较大。但是由于没有考虑构件大范围运动与弹性变形问动力学耦合问题，该方法应用范围有限，仅适用于低速、小变形情况。

集中质量法是将整个机械手看做是弹簧和质量块的综合，用若干离散结点上的集中质量代替原来系统中的分布质量，整个动力方程都能直接通过对质量的近似离散化处理得到。MegahedandHamza，Raboud等学者在这方面进行了很多的研究工作。该方法是最简便的分析方法，但求解精确度不高。

动力学模型建立方法

柔性机械手的弹性变形导致振动现象出现。很多研究者通过提高动力学模型的精确度和采用不同的控制策略来解决。无论是连续或离散的柔性机械手动力学模型，其建模方法主要基于矢量力学和分析力学。Newton—Euler公式、Lagrange方程、变分原理、Kane方程和虚功原理是应用较广泛同时也是比较成熟的。

(1)Newton—Euler公式。

Newton—Euler法又称为D’Alembert原理，主要考虑惯性力与主动力和约束力的平衡，对于柔性杆要考虑弹性力。Newton—Euler公式应用质心动量矩定理写出隔离体的动力学方程，在动力学方程中出现相邻体间的内力项，其物理意义明确表达了系统完整的受力关系，并且具有良好的开放性。

(2)Lagrange方程。

Lagrange方程是用系统的动能对广义坐标和广义速度的偏导数表示的动力学方程。Hamilton正则方程与Lagrange方程完全等价。应用Lagrange方程时，求出能量函数，以能量方式建模，可以避免方程中出现内力项。Lagrange方程在完整系统中应用广泛且方便，对于非完整系统可采用Lagrange乘子。AndrFenili利用Lagrange方程建立了两杆刚柔机械手的动力学模型；Martins，Tso和杨玉维利用Lagrange方程对单杆柔性机械手进行了研究；该方法在使用时需要对时间求导，使求解过程变得繁琐，尤其对于柔性系统，由于系统构型随着时间变化，微分运算过程更加复杂。

(3)变分原理。

Gauss原理和Hamihon原理是两种应用最普遍的变分原理。变分原理不需要建立动力学微分方程，可直接应用优化计算方法进行动力学分析。变分原理将真实发生的运动与约束允许的可能运动加以比较，将系统真实运动应满足的条件表示为某个函数或泛函的极值条件，并利用此条件确定系统的运动，从而提供了一种能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则。这种方法可结合控制系统的优化进行综合分析，便于动力学分析向控制模型的转化。BarunPratihe应用扩展的Hamilton原则建立柔性单杆动力学模型；Efiy.chiosG，Christoforou利用Lagrange公式和Hamilton原理对柔性机械臂进行了深入的研究工作；HassanZo—hoor利用Hamilton原理获得柔性两杆飞行机械手的柔性动力学方程。这种方法开辟了一个不必建立运动微分方程的新途径，可直接运用优化计算方法进行动力学分析。

(4)Kane方程。

Kane方法是建立多体系统动力学方程的又一种方法，它是基于D’Alembert原理，利用广义速率代替广义坐标作为独立变量来描述系统的运动，从而导出动力学方程，Kane将这种方法称为Lagrange形式的D’Alembert原理。负今天、王树新、丁杰利用Kane方程建立了任意形状柔性体动力学方程和一般柔性多体系统的动力学方程[胡权，贾英宏，徐世杰对Kane方程进行扩展，建立了不含待定乘子适用于任意多体系统的动力学模型。该方法可消除方程中的内力项，避免使用动力学函数求导的繁琐运算，使推导过程较为系统化，适用于计算机符号推导和编程，但是它不直观。

(5)虚功原理。

把虚位移原理与D’Alembert原理结合起来，就成为可以解决具有理想约束系统的动力学问题的虚功原理。虚功原理与Kane方法类似。薛克宗、赵平口利用虚功原理建立了柔性多体系统的微分方程。该方法建立的方程中不含约束反力，不能直接求出约束反力。