1.二叉排序树的概念:

二叉排序树是一种动态树表。

二叉排序树的定义：二叉排序树或者是一棵空树，

或者是一棵具有如下性质的二叉树：

⑴ 若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；

⑵ 若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；

⑶ 左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。二叉排序树的性质： 按中序遍历二叉排序树，所得到的中序遍历序列是一个递增有序序列。

2.二叉排序树的插入:

在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后的二叉树仍符合二叉排序树的定义。

插入过程：若二叉排序树为空，则待插入结点*S作为根结点插入到空树中；

当非空时，将待插结点关键字S->key和树根关键字t->key进行比较，

若s->key = t->key,则无须插入，若s->key< t->key,则插入到根的左子树中，

若s->key> t->key,则插入到根的右子树中。而子树中的插入过程和在树中的插入过程相同，

如此进行下去，直到把结点*s作为一个新的树叶插入到二叉排序树中，或者直到发现树已有相同关键字的结点为止。

3. 二叉排序树生成：

从空的二叉排序树开始，经过一系列的查找插入操作以后，生成了一棵二叉排序树。

说明：

① 每次插入的新结点都是二叉排序树上新的叶子结点。

② 由不同顺序的关键字序列，会得到不同二叉排序树。

③ 对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉排序树，其实质上对关键字进行排序。

4.二叉排序树查找的程序实现:

5. 二叉排序树的删除:

假设被删结点是*p，其双亲是*f，不失一般性，设*p是*f的左孩子，下面分三种情况讨论：

⑴ 若结点*p是叶子结点，则只需修改其双亲结点*f的指针即可。

⑵ 若结点*p只有左子树PL或者只有右子树PR，则只要使PL或PR 成为其双亲结点的左子树即可。

⑶ 若结点*p的左、右子树均非空，先找到*p的中序前趋结点*s（注意*s是*p的左子树中的最右下的结点，它的右链域为空），然后有两种做法：

① 令*p的左子树直接链到*p的双亲结点*f的左链上,而*p的右子树链到*p的中序前趋结点*s的右链上。

② 以*p的中序前趋结点*s代替*p（即把*s的数据复制到*p中），将*s的左子树链到*s的双亲结点*q的左（或右）链上。

6. 删除算法演示 :

7. 二叉排序树的查找:

在二叉排序树中进行查找的过程和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。若查找成功，则是走了一条从根结点到待查结点的路径；若查找失败，则是走了一条根结点到某个叶子结点的路径。因此，查找过程中和关键字比较的次数不超过树的深度。

由于含有n个结点的二叉排序树不唯一，形态和深度可能不同。故含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关。

最好的情况是： 二叉排序树和二叉判定树形态相同。

最坏的情况是： 二叉排序树为单支树，这时的平均查找长度和顺序查找时相同。

最坏情况示例

就平均性能而言，

二叉排序树上的查找和二分查找相差不大，并且二叉排序树上的插入和删除结点十分方便，无须大量移动结点。

二叉排序树查找

若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。

否则，若小于根结点的关键字值，递归查左子树。

若大于根结点的关键字值，递归查右子树。

若子树为空，查找不成功。

插入算法：

首先执行查找算法，找出被插结点的父亲结点。

判断被插结点是其父亲结点的左、右儿子。将被插结点作为叶子结点插入。

若二叉树为空。则首先单独生成根结点。

注意：新插入的结点总是叶子结点。

void InsertBST(t，key)

//在二叉排序树中插入查找关键字key

{

if(t==NULL){

t=new BiTree;

t->lchild=t->rchild=NULL;

t->data=key;

return; }

if(keydata ) InsertBST(t->lchild,key);

else InsertBST (t->rchild, key );

}

void CreateBiTree(tree,d【 】,n）

//n个数据在数组d中，tree为二叉排序树根

{tree=NULL;

for(i=0;i InsertBST(tree,d);

}

在k-d树中进行数据的查找也是特征匹配的重要环节，其目的是检索在k-d树中与查询点距离最近的数据点。这里先以一个简单的实例来描述最邻近查找的基本思路。

星号表示要查询的点(2.1,3.1)。通过二叉搜索，顺着搜索路径很快就能找到最邻近的近似点，也就是叶子节点(2,3)。而找到的叶子节点并不一定就是最邻近的，最邻近肯定距离查询点更近，应该位于以查询点为圆心且通过叶子节点的圆域内。为了找到真正的最近邻，还需要进行'回溯'操作:算法沿搜索路径反向查找是否有距离查询点更近的数据点。此例中先从(7,2)点开始进行二叉查找，然后到达(5,4)，最后到达(2,3)，此时搜索路径中的节点为<(7,2)，(5,4)，(2,3)>，首先以(2,3)作为当前最近邻点，计算其到查询点(2.1,3.1)的距离为0.1414，然后回溯到其父节点(5,4)，并判断在该父节点的其他子节点空间中是否有距离查询点更近的数据点。以(2.1,3.1)为圆心，以0.1414为半径画圆，如图4所示。发现该圆并不和超平面y = 4交割，因此不用进入(5,4)节点右子空间中去搜索。

再回溯到(7,2)，以(2.1,3.1)为圆心，以0.1414为半径的圆更不会与x = 7超平面交割，因此不用进入(7,2)右子空间进行查找。至此，搜索路径中的节点已经全部回溯完，结束整个搜索，返回最近邻点(2,3)，最近距离为0.1414。

一个复杂点了例子如查找点为(2，4.5)。同样先进行二叉查找，先从(7,2)查找到(5,4)节点，在进行查找时是由y = 4为分割超平面的，由于查找点为y值为4.5，因此进入右子空间查找到(4,7)，形成搜索路径<(7,2)，(5,4)，(4,7)>，取(4,7)为当前最近邻点，计算其与目标查找点的距离为3.202。然后回溯到(5,4)，计算其与查找点之间的距离为3.041。以(2，4.5)为圆心，以3.041为半径作圆，如图5所示。可见该圆和y = 4超平面交割，所以需要进入(5,4)左子空间进行查找。此时需将(2,3)节点加入搜索路径中得<(7,2)，(2,3)>。回溯至(2,3)叶子节点，(2,3)距离(2,4.5)比(5,4)要近，所以最近邻点更新为(2，3)，最近距离更新为1.5。回溯至(7,2)，以(2,4.5)为圆心1.5为半径作圆，并不和x = 7分割超平面交割，如图6所示。至此，搜索路径回溯完。返回最近邻点(2,3)，最近距离1.5。k-d树查询算法的伪代码如下所示。